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Corso di tesoreria in 18 passi

Formula di Black e Sholes



Siano

\(s\) il prezzo spot dell'asset
\(x\) il prezzo di esercizio dell'opzione (strike)
\(t\) la durata dell'opzione in frazioni di anno
\(r_a\) il tasso risk-free su base annua
\(v\) la volatilità dell'asset

Posti

\[ r_c = \log(1 + r_a) \]

\[ d = \frac{ \log \frac{s}{x} + (r_c + \frac{v^2}{2} )  t}{ v  \sqrt{t} } \]

\[ d_2 = d - v \sqrt{t} \]

abbiamo

\[ \mathcal{BS}(s, x, t, r_a, v) =  s ~ \mathcal{N}(d)  - x ~ e^{-r_c ~ t} ~ \mathcal{N}(d_2) \]

ove \( \mathcal{N}(z)  \) è la funzione di distribuzione.

 



Funzione di distribuzione



Posti

\[ 
\begin{cases}  
    c_0 = 0.231649 \\
    c_1 =  2.506628 \\
    c_2 =  0.3193815 \\
    c_3 = -0.3565638 \\
    c_4 =  1.7814779 \\
    c_5 = -1.821256 \\
    c_6 =  1.3302744
\end{cases}
\]

\[
w =
\begin{cases}    \hfill 1,  & \quad \text{se} \quad z \ge 0 \\
   -1, & \quad \text{se} \quad z \lt 0
\end{cases}
\]

\[ y = \frac{1}{ 1 + c_0 ~ w ~ z } \]

\[ y_c = y ~ (c_2 + y ~ (c_3 + y ~ (c_4 + y  ~  (c_5 + y ~ c_6))))  \]

la funzione di distribuzione (o funzione cumulativa di frequenza) è definita come

\[ \mathcal{N}(z) =  \frac{1}{2} + w ~ (\frac{1}{2} - \frac{e^{ -z^2 /2 }}{c_1} ~ y_c) \]

 



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